birmaga.ru
добавить свой файл

1
Во многих парках и скверах, и даже в художественных музеях. можно встретить удивительные скульптуры. Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов? Оказывается это – лента Мебиуса, и она имеет самое прямое отношение к математике. Мне захотелось, как можно больше узнать об этой загадочной ленте- листе Мебиуса


Целью моей исследовательской работы было изучение свойств ленты (листа) Мебиуса.

Объектом исследования – лента Мебиуса.

Для достижения поставленной цели мною решались следующие задачи:


  • Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.

  • Изготовить ленту Мебиуса

  • Исследовать опытным путем свойства ленты Мебиуса.

  • Установить области применения ленты Мебиуса.

Сначала попробуем получить объект нашего исследования. Для этого возьмем полоску бумаги (она должна быть узкой и длинной) и перед склейкой перекрутим ленту один раз (на 180). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо – Лист Мёбиуса. Лента Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей».

А случилось это открытие – в 1858 г. В возрасте 68 лет немецкому геометру и астроному, профессору Лейпцигского университета, ученику Гаусса и Пфаффа, Августу Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Он открыл односторонние поверхности, одна из которых – лист Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.

Что же удивительного в этой ленте? – Это ее свойства.

1. Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.

2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.


3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

5. «
Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Чтобы понять некоторые свойства ленты Мебиуса я провела несколько экспериментов, взяв в качестве объектов – обычную ленту и ленту Мебиуса.

ОДНОСТОРОННОСТЬ. Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите – проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Тогда как у круга закрашена будет лишь одна сторона.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

1. Что будет, если поставить точку на обычном круге и на листе Мёбиуса и чертить непрерывную линию пока не вернёшься в отмеченную точку. Линия у обычного кольца проходит вдоль по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой. Тогда как на листе Мебиуса непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

2. Закрасим непрерывной линией только один край колец, у обычного круга полоски будут только на одной стороне, а у ленты Мёбиуса полоски будут идти по всей плоскости.

3. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!


СВЯЗАННОСТЬ

1. А что случится, если разрезать вдоль посередине лист Мёбиуса по всей длине ? – перекрещенная восьмерка. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

2. Разрежем лист Мебиуса, отступив от края на одну треть. При разрезании обычной ленты получилось 2 кольца одно уже, другое шире. При разрезании листа Мебиуса олучилось 2 кольца одно уже, другое шире.

В чем же ценность открытия листа Мебиуса?


  1. Дала мощный толчок новым обширным математическим исследованиям, в частности, появление нового раздела геометрии – топологии. Топология изучает свойства геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать.

  2. Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью.

  3. Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).

  4. Существуют и технические применения ленты Мебиуса

  5. Лист Мёбиуса часто считают символом современной математики.

Проиллюстрируем лишь некоторые из них: Лента Мёбиуса в скульптуре представлена в различных вариантах: от традиционных до самых невероятных:…это и знаменитая литография с муравьями голландского художника Мориса Эшера, невероятный проект новой библиотеки в

Астане ( Казахстан), и даже скульптура, составленная из множества консервных банок.

Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике. Многие изобретения защищены патентами. Первый патент в 1923 году выдан изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. В виде листа Мебиуса изготовлены лопасти бетономешалки и обычного бытового миксера, винты на суднах и многое другое — энергозатраты снижаются на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшается. Знаменитые аттракционы “Американские горки” также имеет форму листа Мебиуса.


Существует даже модель транспортного средства, которая соединила в себе красоту и загадку ленты Мебиуса – это гоночная машина Toyota MOB испанского дизайнера Хорхе Марти Видала.

Выводы


  • У листа Мебиуса всего одна сторона

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

  • На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переходить через край “ленты”.

Лентой Мёбиуса закручен путь

В какую сторону не иди…

Обязательно увидишь ещё раз того,

Кого однажды встретил на пути…

Если нужно кого-то догнать,

Не трать сил, времени на ускорение…

Лучше просто подождать или

Двинуться в обратном направлении…

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности и рассказывать о Ленте Мебиуса можно удивительно долго: и в литературе, и в цирке фокусниками (знаменитая афганская лента), и разными архитекторами. Надеемся, что я вас заинтересовала, и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа сами, набрав в интернете заветное слово.