birmaga.ru
добавить свой файл

1



- -

Лекция 4. Кинематика атмосферных движений. 2


Важнейшую роль при изучении атмосферных движений играет понимание кинематики векторных метеорологических полей.

Кинематика векторных полей


Виды векторных полей в метеорологии. Помимо векторных полей, возникающих как градиенты полей метеорологических скалярных величин ( плотности, температуры, давления и других), в метеорологии, как и в гидромеханике при использовании переменных Эйлера, применяют радиус-вектор положения материальной точки , вектор скорости перемещения этой точки , а также вектор ускорения . Эти вектора связаны соотношениями

(4.1)

Нужно помнить, что при Эйлеровом описании динамики жидкости радиус вектор перемещающейся точки зависит от времени только через изменения координат точки , тогда как скорость зависит от времени явно (V(x,y,z,t)). Поэтому ускорение определяется формулой

. (4.2)

Применяя основные векторные операции к векторам r, V ,a можно ввести ряд важных кинематических характеристик, широко применяемых в метеорологии. Они приведены в таблице 4.1. Способы расчета этих характеристик при задании векторов компонентами даны в виде справки в приложении 3. Более подробно их определение и смысл даны в курсе гидромеханики.

Таблица 4.1. Кинематические характеристики движения атмосферы.( Через ρ обозначена плотность воздуха.)

Название

Обозначение

Тип

Назначение

Импульс



вектор

Количество движения частицы

Момент импульса



вектор

Описание вращения частицы относительно начала координат

Кинетическая энергия



скаляр

Энергетическая характеристика движения частицы

Дивергенция скорости



скаляр

Характеристика растяжения или сжатия элементарного объема при движении

Вихрь скорости



вектор

Удвоенная угловая скорость вращения материальной точки своей оси.

Спиральность




скаляр

Мера наклона оси вихря по отношению к вектору скорости течения (Используется при изучении вторичных циркуляций)

Поток субстанции



скаляр

Перенос через поверхность S за счет скорости течения величины (массы, энергии, субстанции и так далее)

Расход



скаляр

Объем жидкости, перетекающий через площадку S за единицу времени

Поток массы



скаляр

Масса жидкости, перетекающая через площадку S за единицу времени

Циркуляция



скаляр

Мера вращения потока вдоль контура L.


Некоторые формулы и теоремы кинематики, полезные в работе метеоролога, приведены ниже. Например, объем V, ограниченный поверхностью S , можно выразить в виде поверхностного интеграла

, (4.3)


Если частица, идентифицируемая радиусом вектором r , вращается вокруг оси с угловой скоростью Ω={Ωxyz}, то мгновенная скорость движения частицы определяется по формуле Эйлера (доказывается в теоретической механике)

(4.4)

Изменения момента импульса частицы можно выразить через момент инерции

(4.5)

Циркуляция ускорения равна ускорению циркуляции (теорема Томсона, доказывается в гидромеханике)

(4.6)

Важно постоянно помнить и еще одну кинематическую терему Томпсона: кинетическая энергия в замкнутом объеме движущейся без вихрей жидкости всегда меньше, чем при всяком другом движении с теми же граничными условиями, но обладающем вихрями.

Если вектор скорости задан, то есть известны его компоненты как функции координат, то можно определить дивергенцию скорости и с помощью теоремы Гаусса вычислить и поток массы и расход через заданную поверхность. Например, для расхода получается формула

(4.7)

С помощью теоремы Стокса чаще вычисляют средний вихрь области, ограниченной заданным контуром

(4.8)

Обычно контуры располагают в координатных плоскостях, так что циркуляцию вектора по контуру в большинстве случаев оценить несложно.

Используя определение вихря скорости и формулу для преобразования выражения (см. формулы (33) и (37) приложения 3) , формулу для ускорения (4.2) можно привести к виду


. (4.9)

Применяя теперь оператор () к уравнению (4.9), можно получить выражение для расчета индивидуальной производной вихря скорости или изменения вихря скорости в частице, по мере ее движения, в виде

.(4.10)

Здесь учтено, что выражение обращается в нуль в силу уравнения (38) приложения 3 и что, согласно уравнению (39) приложения 3. Так же применена формула (16) приложения 3 для вычисления и формула (35) приложения 3 для вычисления .

Как задать нужное векторное поле.


Для наглядного изображения векторных полей используют векторные линии. В динамической метеорологии используют векторные линии поля скорости (линии тока) и поля вихря (вихревые линии). Линии тока вектора скорости V(u,v,w) получают интегрированием дифференциальных уравнений (подробнее это показано в приложении 3)

(4.11)

Следует отличать линии тока, описывающие мгновенное состояние движение жидкости, от траекторий движения частиц жидкости, которые, если они известны, описывают всю эволюцию движения за определенное время. Уравнения траекторий получают, полагая, равенства (4.11) характеризуют только бесконечно малый промежуток времени dt. Тогда равенства (4.11) преобразуются к виду


(4.12)

Откуда следуют дифференциальные уравнения траектории частицы

(4.13)

Различие между линиями тока и траекториями можно проиллюстрировать примером Н.Е.Кочина. Пусть вектор скорости имеет компоненты V12 t, 0), причем С1 и С2 – постоянные. Тогда уравнения линий тока примут вид

(4.14)

(Равенство нулю знаменателя здесь допускается, так как оно подчеркивает, что обязательно должно быть dz=0, то есть движение осуществляется в горизонтальной плоскости). Линии тока должны удовлетворять уравнению

(4.15)

В результате интегрирования уравнений траекторий получается другая функциональную зависимость:

.(4.16)

Сравнивая уравнения линии тока и траектории, проходящие через одну и ту же точку (x0,y0), легко убедиться, что это разные кривые.

Уравнения (4.11) и (4.12) имеют единственное решение, если вектор скорости не обращается в нуль. Это значит, что везде, кроме точек застоя, через каждую точку проходит только одна линия тока или одна траектория. Через точки застоя, где V(x,y,z,t)=0 , может проходить различное число линий тока или совсем их не быть. Эти точки называются особыми. Существуют способы классификации потоков в окрестностях особых точек.

Важные для метеорологии виды линий тока

Ниже приведены примеры линий тока вместе с их уравнениями для течений, типичных для атмосферных движений. Все линии тока проведены в первом координатном квадранте. Масштаб осей произволен. Для построения графиков линий тока удобно использовать MathCad. Пример листа позволяющего получать различные варианты линий тока при подходящей замене функций U(x,y) и V(x,y) приведен на рис. 4.1



Рис. 4.1. Пример листа для расчета линий тока спирального циклонического вихря в MathCad12.

Результаты расчетов по уравнениям линий тока, приведенные в таблицах, получены в основном с помощью модификаций листа, приведенного на рисунке 1. Поскольку векторные линии в данном программном комплексе можно построить только на плоскости, для трехмерных изображений использованы другие средства

Таблица 4.2. Линии тока, моделирующие прямолинейные атмосферные движения. ( Обозначения: x,y – абсцисса и ордината точки)


Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4
















Таблица 3.3. Линии тока, моделирующие вращательные атмосферные движения. (Обозначения: , x,y абсцисса и ордината точки, W = 0)

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8
















Таблица 3.4. Линии тока, моделирующие дивергентные атмосферные движения. (Обозначения: , x,y абсцисса и ордината точки, W = 0)


Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12


















Таблица 3.5. Линии тока, моделирующие волновые атмосферные движения. (Обозначения: x,y абсцисса и ордината точки, W = 0)

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16
















Таблица 3.6. Линии тока, моделирующие винтовые атмосферные движения. (Обозначения: x,y,z – абсцисса, ордината и аппликата точки, t – время.)

Пример 17

Пример 18

Пример 19

Пример 20

















Приведенные уравнения линий тока рекомендуется запомнить, так как с их помощью можно построить множество полезных тестов и моделей течений, похожих на те, которые имеют место в реальной атмосфере.