birmaga.ru
добавить свой файл

1
Кривые второго порядка.

Канонические уравнения кривых второго порядка

Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:



(1.34)

В уравнении (1.34) а11, а22, а0 - заданные числа.

Далее мы рассматриваем наиболее простые частные случаи уравнения (1.34).

Канонические уравнения в системе координат Оху

1. Эллипс задается уравнением:



(1.35)

Эллипс симметричен относительно осей Ох, Оу и точки О.

Точки или являются фокусами эллипса (или фокальными точками эллипса), где с находится так:

.

(1.36)



2. Гипербола задается уравнениями (1.37) и (1.39):

.

(1.37)

Гипербола (1.37) симметрична относительно осей Ох, Оу и точки О (рис. 1.15).

Точки являются фокусами гиперболы (1.37) (или фокальными точками гиперболы), где с находится так:

.

(1.38)

Аналогичными свойствами обладает и гипербола (1.39):

.

(1.39)

Гипербола (1.39) называется сопряженной к гиперболе (1.37) (рис. 1.16). При этом точки - фокусы гиперболы (1.39).



3. Парабола задается уравнениями (1.40) и (1.41):

а)       ;                                        


б)      .


(1.40)

Парабола (1.40) симметрична (рис. 1.17) относительно оси Ох. Аналогичными свойствами обладает и парабола (1.41): ось симметрии - ось Оу, фокус - на оси Оу (рис. 1.18).

а)         ;                                       

  б)      .

(1.41)



Поверхности второго порядка в системе координат Охуz

Рассмотрим канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка:

прямой круговой цилиндр (рис. 1.20).

эллиптический цилиндр (рис. 1.21).

сфера с центром в точке О и радиусом R (рис. 1.22).

трёхосный эллипсоид (рис. 1.23).


сфера с центром в точке О и радиусом R (рис. 1.22).


трёхосный эллипсоид (рис. 1.23).



гиперболический цилиндр (рис.1.24).

параболический цилиндр (рис. 1.25).

однополостный гиперболоид (рис. 1.26).

эллиптический параболоид (рис. 1.27).

эллиптический конус (рис. 1.28).