birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 4 5
КОМБИНАТОРИКА. ВЕРОЯТНОСТЬ



§ 1.СОЕДИНЕНИЯ
Приведем определения основных понятий и поясним их на примерах.

О п р е д е л е н и е 1. Различные группы, составленные из каких-либо предметов (элементов) и отличающиеся одна от другой либо числом предметов, либо самими предметами, либо их порядком, называются соединениями.

1. Из 10 различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – можно составить группы по нескольку цифр в каждой: 32 (два элемента), 425 (три элемента), 524 (три элемента), 3801 (четыре элемента) и т. д. Эти группы цифр различаются либо количеством цифр (32 и 3801), либо самими цифрами (135 и 537), либо порядком цифр (425 и 524).

Договоримся обозначать малыми латинскими буквами элементы, из которых составляются соединения.

Соединения бывают трех типов: размещения, перестановки и сочетания. В этом параграфе мы рассматриваем только те соединения, которые составлены из попарно различных элементов.

О п р е д е л е н и е 2. Размещениями из элементов по называются соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных элементов, и отличающиеся от других или элементами, или их порядком. Очевидно, что .

Число размещений из элементов по обозначается символом и вычисляется по формуле


.

Заметим, что произведение в правой части содержит множителей, которые являются натуральными числами, последовательно убывающими от до . Например,

и т. д.

2. В классе 10 различных учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в день?

Очевидно, что расписание уроков будет отличаться друг от друга, как самими уроками, так и их порядком. Следовательно, речь идет о размещениях из 10 элементов по 5:

.

3. Сколько можно образовать чисел из цифр , из которых каждое записывалось бы тремя различными цифрами?

Решение его аналогично предыдущему: .

4. Сколько целых чисел можно образовать из всех цифр, каждое из которых записывалось бы тремя различными цифрами?

В задаче речь идет о количестве трехзначных чисел, составляемых из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. «Хитрое» отличие от предыдущей задачи состоит в том, что среди заданных чисел имеется нуль. Если в группе цифр на первом месте стоит нуль, то число становится двузначным. Поэтому сначала подсчитаем общее число размещений из 10 по 3 и из него вычтем число двузначных чисел с попарно различными цифрами, то есть . Таким образом, окончательный результат есть


.

О п р е д е л е н и е 3. Перестановками из элементов называются соединения, каждое из которых содержит только эти элементов в различном порядке. Число перестановок из элементов обозначается и может быть вычислено по формуле

.

Отметим, что произведение последовательных натуральных чисел от 1 до включительно обозначается специальным образом

.

Символ читается: эм факториал. По договоренности между математиками используют еще следующую символику:

.

В частности, , .

5. Количество девятизначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1,2…9, равно .

6. Сколькими способами можно разместить12 лиц за столом, на котором поставлено 12 приборов? Ответ очевиден: 12!


7. Выписать все перестановки из трех элементов: . Число таких перестановок равно 3!=6. Имеем

.

О п р е д е л е н и е 4.Сочетаниями из элементов по называются соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных элементов, и отличается от других хотя бы одним элементом. Снова понятно, что . Число сочетаний из элементов по обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Докажите самостоятельно:

Т е о р е м а 1. Число сочетаний, размещений и перестановок связаны друг с другом равенством

.

Т е о р е м а 2. Число сочетаний обладает “симметрией”

.

8. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Сколько может быть разных вариантов такого выбора?

Очевидно, что порядок кандидатур не играет роли. Следовательно, речь идет о числе сочетаний. Ответ: .

9. Вычислить . Воспользуемся теоремой 2.

Имеем .

Теперь, когда определены все виды соединений, можно образовывать из них уравнения и системы уравнений, неравенства и функции. При этом следует лишь помнить, что нижние и верхние индексы должны быть неотрицательными и целыми.

10. Решить уравнение: .

По определению в выражении должно быть , , - целые. Тогда ясно, что уравнение имеет смысл лишь при натуральных значениях и таких, что . Теперь расшифруем символы .

Имеем


и после очевидных преобразований приходим к квадратному уравнению . Его корнями являются числа , . Учитывая область допустимых значений для исходного уравнения и эквивалентность всех преобразований, получаем ответ .


11. Решить уравнение:

,

где - натуральное число.

Очевидно, что . Расшифровывая символы перестановок и размещений, получаем

,

или

,

или . Отсюда имеем , .

В качестве ответа может подойти только число 10. Но, кроме того, должно быть по условию . Таким образом, ответ будет следующим: если , то ; если , то уравнение не имеет решений.

12. Решить систему уравнений

; .

В этой системе неизвестными являются и . После расшифровки символов числа размещений и сочетаний легко определяется значение , а потом для получается квадратное уравнение. В самом деле, имеем


; ,

или



Из второго уравнения получаем подбором, что . Тогда первое уравнение принимает вид , или . Решая уравнение, получаем . О т в е т: .

☼ ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
8.1. ; 8.2. ;

8.3. ; 8.4. ;

8.5. ; 8.6. ;

8.7. ; 8.8. ;

8.9. ; 8.10. ;

8.11. ; 8.12. ;


8.13. ; 8.14. ;

8.15. ; 8.16. ;

8.17. ; 8.18. ;

8.19. ; 8.20. ;

8.21. 8.22.

8.23. ;

8.24. ;

8.25. .
Пусть теперь среди заданных элементов имеется некоторое количество одинаковых. Тогда соединения, составленные из этих заданных элементов, называются соединениями с повторениями. Рассмотрим перестановки и сочетания с повторениями.

Пусть дано элементов , элементов ,…, элементов , то есть всего имеется элементов, из которых образовываются перестановки. Число таких перестановок обозначается символом и вычисляется по формуле


.

В частности, перестановки без повторений являются частным случаем:



Два сочетания с повторениями из элементов по в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются, по крайней мере, одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число сочетаний из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле .



следующая страница >>