birmaga.ru
добавить свой файл

1


Геометрические свойства кривых второго порядка.

Уравнение

(1)

задаёт на плоскости множество точек, называемое кривой второго порядка.

Канонические уравнения:

– эллипс, – точка, – мнимый эллипс;

гипербола, – пара пересекающихся прямых;

парабола, – пара параллельных прямых,

пара совпадающих прямых, – пара параллельных мнимых прямых.
Инварианты:

, – дискриминант старших членов,
– дискриминант уравнения (1).

В этих выражениях считается, что .

Инварианты – параметры, которые остаются неизменными (инвариантными) при переходе от одной декартовой системы координат к другой декартовой системе координат.


Есть ещё несколько существенных параметров уравнения (1):


и корни характеристического уравнения:

, которое равносильно уравнению (2)

Известна связь: , .

При этом, параметры канонических уравнений можно получить, не проводя замен переменных из следующих формул:

Для эллипса: , ;

Для гиперболы: , ;

Для параболы: .

Любую невырожденную кривую второго порядка можно в подходящей системе координат представить уравнением:

(3)

В этом случае:

– кривая проходит через начало координат,

– ось является осью симметрии кривой.

Невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кривая является эллипсом при и, в частности, окружностью при , параболой при и гиперболой при .


Уравнение директрисы кривой, заданной в (3): ;

Координаты фокуса: ;

Расстояние от фокуса до директрисы: ;

Фокальный параметр: .

Если кривая – центральная (эллипс или гипербола), то прямая является осью симметрии кривой, и, следовательно, кривая имеет 2 фокуса и 2 директрисы.





Эллипс


Гипербола


Парабола

Каноническое уравнение









Эксцентриситет







Фокусы











Директрисы








Фокальный параметр








Фокальные радиусы

(расстояния от фокусов до точки кривой с координатами )












Геометрический смысл


Сумма расстояний от точки эллипса до фокусов постоянна (и равна )




Разность расстояний от точки гиперболы до фокусов постоянна (и равна )

Расстояние от точки параболы до фокуса равно расстоянию от этой же точки до директрисы


Эллипс Гипербола


асимптоты


Парабола




директриса