birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 3 4


Лабораторная работа 1
Исследование одномерных вещественных автономных систем

с дискретным временем

Пусть – автономная одномерная вещественная динамическая система с дискретным временем, где



, .

Ниже будут рассмотрены случаи, когда зависит от одного, двух или четырех параметров:



: , или .

  1. Для заданных значений параметров и начального состояния :

  1. построить график движения (с заданным числом шагов ), по графику охарактеризовать тип движения;

  2. вывести числовые значения последних точек.
  1. Для заданной системы построить диаграмму Ламерея. Охарактеризовать по ней движение системы и найти графически неподвижные точки.


  2. Для каждой системы найти параметрическое выражение для ее неподвижных точек (т.е., получить явные выражения для них).

  3. Найти явное условие характеристики неподвижной точки (устойчивости, неустойчивости, безразличности).

  4. Найти циклы и определить их характеристики.

  5. Найти явное параметрическое выражение для второй итерации функции и построить её график.

  6. Используя диаграмму Ламерея, найти все циклы длины 2, при этом нужно уметь отделять неподвижные точки.

  7. Если это возможно, найти явные выражения для корней уравнения , где .

Неподвижные точки отделяются от цикла длины 2 путем деления на (почему?).

  1. Для полученных выражений циклических точек найти условия, характеризующие цикл, и проиллюстрировать графически полученные результаты.

  2. Подставляя заданные числовые значения параметров системы, получим числовые значения для циклических точек. (Запустив систему в одной из циклических точек нужно убедиться, что она проходит все остальные).

  3. Исследовать обратимость каждой системы.

  4. Провести исследование циклов более высокого порядка.


Системы

  1. Линейная система: .




Параметры

Начальное состояние

Число шагов

значения последних точек












0

-2

0; 1

100

10

1

-0,5

0;1; -1

100

10

1/2

5

-2

100

10

-1/3

-2

1

100

10

3

-2

0

100

10

-1

0,5

0,25

100

10




  1. Дробно-линейная система:

.

Параметры


Начальное состояние

Число шагов













2

1

2

1

0; 1; -1, 2; 2; -2

10

1

0,5

0,5

-1

0; 1; -1, 2; 2; -2

20

4

1

3

4

0; 1; -1, 2; 2; -2

100

1

1

2

1

0; 1; -1, 2; 1; -2

30

-1

1

2

2

0; 1; -1, 2; 3; -3

200

0


2

-4

0

0; 1; -1, 2; 3; -3

50



  1. Логистическая система:

.


Параметр

Начальное состояние

Число шагов







0,5

0,5

100

1,5

0,5

100

2

0,2

50

2,8

0,2

50

3,2

0,8

200

4

0,8

200



  1. Показательная система: .


Параметр


Начальное состояние

Число шагов







1

0, 1; -1; 2; -2; 0,5

10

2

0, 1; -1; 2; -2; 0,5

20

1,4

0, 1; -1; 2; -2; 0,5

100



0, 1; -1; 2; -2; 0,5

300

0,01

0, 1; -1; 2; -2; 0,5

50



  1. .




Параметры

Начальное состояние

Число шагов







4

-1

0; -3; 2; 1; -2

100

2

3

0; -3; 2; 1; -2

50

0,5

2

0; -3; 2; 1; -2

70

-4

1

0; -3; 2; 1; -2

50

1

0

0; -3; 2; 1; -2

100

-1

0

0; -3; 2; 1; -2

100




  1. , где - дробная часть числа .




Параметр

Начальное состояние

Число шагов





2


2/5; 5/7

120

3

2/5; 5/7

10; 20; 30

2

1/4; 2/4; 3/4

10; 20; 30

3

1/4; 2/4; 3/4

10; 20; 30


Образец выполнения лабораторной работы для линейных и логистических систем


f(x)=

ax+b

а =

-0,900

b =

3,000

x0 =

0,500

N =

30, M=15










n

f(xn)





15

2




16

1




17

2




18

1




19

2




20

1




21

2




22

1




23

2


24


1




25

2




26

2




27

2




28

2




29

2




30

2

Неподвижная точка р = 1,578,

устойчивая (аттрактор).

Циклов нет.

График движения

Вариация графика движения

(Здесь и ниже кнопки позволяют варьировать значения параметров)







f(x)=

ax+b











а =

0,579

1000




b =

0,824

1000




x0 =

1,958







N = 37

M =15




n

f(xn)




22

1,957




23

1,957




24

1,957




25

1,957




26

1,957




27

1,957




28

1,957




29

1,957




30

1,957




31

1,957




32

1,957




33

1,957




34

1,957




35

1,957




36

1,957




37

1,957

Неподвижная точка р = 1,9572,

устойчивая (аттрактор),



Циклов нет.
Лестница Ламерея


f(x)=

ax+b

а =

-0,80

b =

3,00

c =

0,00

x0 =

0,50

xmin =

0,00

xmax =


3,00

N =

20

n

f(xn )

5

2,59739

6

2,39502

7

2,59616

8

2,39644

9

2,59498

10

2,39780

11

2,59384

12

2,39911

13

2,59274

14

2,40037

15

2,59169


16

2,40159

17

2,59066

18

2,40276

19

2,58967

20

2,40389

Вариация лестницы Ламерея














а =-1,000













b =2,916













x0 =-0,077













xmin =-3,870




 













xmax =8,440












N =72



следующая страница >>