birmaga.ru
добавить свой файл

1
Исполнитель учащаяся 7 класса


МОУ «СОШ №47» Михайлова Ольга.

Учитель математики

Шевчук Татьяна Николаевна.
Признаки делимости
Издавна существует способ проверки умножения: вычисляется сумма цифр у каждого сомножителя и у произведения; если среди полученных чисел не все однозначные, то у них вновь и вновь вычисляются суммы цифр до тех пор, пока они не станут однозначным. После этого перемножаются однозначные числа, соответствующие сомножителям, и у этого произведения вычисляется сумма цифр. Если полученное число совпадает с однозначным числом, вычисленным для произведения первоначальных чисел, то умножение начальных чисел считается выполненным верно.

Этот способ основан на более общим признаке делимости на 9 , чем тот, который изучается в школе. Дело в том, что остаток при делении на 9 равен остатку при делении на 9 его суммы цифр. Частным случаем этого признака будет случай остатка, равного нулю, т.е. знакомый вам признак: число делится на 9.

Простым и очень полезным является признак делимости на 11. Любопытное применение нашел этот способ при исследовании числа "счастливых" билетов. Некоторое время назад в трамваях, троллейбусах кондукторы продавали билеты. Затем эта процедура была переведена на обслуживание: пассажиры сами бросали деньги в кассу и отрывали билеты. Каждый билет имел шестизначный номер, например, 286358. Этот билет в Москве считался "счастливым" в силу того, что сумма его первых трех цифр - 16- равняется сумме оставшихся трех цифр. Тут же возникла задача: насколько часто встречаются "счастливые" билеты, точнее, сколько "счастливых" чисел среди чисел от 000000 до 999999?

В то же время в Санкт-Петербурге (тогда еще Ленинграде) "счастливыми" считались билеты, у которых сумма цифр, стоящих на четных местах, равнялась сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Если немного подумать, то нетрудно понять, что "счастливых" билетов "по-московски" столько же, сколько и "по-ленинградски". Но билет, счастливый "по-ленинградски", делится на 11, в то же время не всякое шестизначное число, делящееся на 11, будет номером билета, "счастливого по-ленинградски", например, число 405000.


Значит, билетов, "счастливых по-ленинградски", как и билетов, "счастливых по-московски", меньше, чем чисел, делящихся на 11. Чисел до миллиона, делящихся на 11, как нетрудно подсчитать, 90910, значит, "счастливых" билетов меньше. На самом деле их 55252, т.е. "счастливым" оказывался в среднем каждый 18-й билет.

Вы знаете признаки делимости на 2, 3 и 5. Из них легко вывести признаки делимости на 4 и 6. А каков признак делимости на 7? Нетрудно сформулировать признак делимости на 8.

Признаки делимости на большие числа также существуют, но они более громоздки.

Есть признак делимости на 6. Рассмотрим некоторые признаки делимости, которые нам понадобятся для решения наших задач.

Признаки делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры которых образуют число, делящееся на 4. На основании этого признака можно утверждать, например, что числа 3000, 4708, 5312, 7816, 18224 делятся на 4, а числа 16815 на не делится.

Признак делимости на 8. На 8 делятся все те числа, три последние цифры которых образуют число, делящееся на 8. С помощью данного признака можно, например, утверждать, что числа7000, 13008, 19064, 23112 делятся на 8, а числа 37202, 58314, 79148 на 8 не делятся.

Признак делимости на 6. На 6 делятся все те и только те числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3. С помощью этого признака можно установить, например, что число 721314 делится на 6, поскольку оно делится на 2 (оно четно) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 11. Он заключается в следующем: надо сложить все цифры числа, стоящие на нечетных местах с конца(то есть цифры разрядов единиц, сотен, десятков тысяч ит.д.), а потом сделать тоже самое для цифр стоящих на четных местах с конца (то есть сложить цифры разрядов десятков, тысяч, сотен тысяч и т.д.). Из большей суммы надо вычесть меньшую сумму. Если разность делится на 11, то на 11 делится и само число. Например, 517: первая сумма 7+5=12, а вторая состоит из одного слагаемого 1. Так как разность 12-1 =11 делится на 11, то и число 517 делится на 11.


Поясним, откуда берется этот признак делимости. Число 517 можно записать в виде 517=500+10+7=5(99+1)+(11-1)+7=5+11+(5-1+7). Но 5+11=5+11=(5+1)11 и потому делится на 11. Значит, 517 является суммой числа, делящегося на 11. Значит, 517 является суммой числа, делящегося на 11, и числа, равного 5-1+7. Поэтому вопрос о том, делится 517 на 11 или нет, сводится к этому же вопросу относительно 5-1+7, то есть числа 11. Так как оно делится на 11, то на 11 делится и 517.

Для делимости на 7 и на 13 нет такого удобного признака. Но можно воспользоваться тем, что 1001= Поэтому все числа, делящиеся на 1001, делятся на 7, и на 11, и на 13. Узнаем, например, делится ли на 7 число 859523. Для этого запишем его в виде 859523= Так как уменьшаемое 859 1001 делится на7, то остается узнать, делится ли на это число вычитаемое 336, то есть разность 859-523. Но 336=и потому делится на 7. Значит, тем же свойством обладает и заданное число 859523. А на 13 это число не делится, так как 336 не делится на 13.

Что бы узнать делится ли на 7 число 85314507239, надо образовать две суммы: 239+314=543 и 507+85=592. Так как 592-543=49, а 49 на 7 делится, то и заданное число делится на 7. Ответ получен куда быстрее, чем если бы мы убедились в делимости, выполнив деление числа на 7.

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47045881.


Применяем последовательно наш признак делимости: 4704588 / 1

+2

-----------

47045 / 90

+18

-------

4706 / 3

+6

------

471 / 2

+ 4

-----

47 / 5

+10

------

5 /7

+14

----

19

Так как 19 делится на 19 без остатка, то кратны 19 и числа 57, 475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881.

Задачи


  1. Найти целое число, которое, будучи умножено на 99, дает 62**427. К сожалению, кто-то замазал две цифры, обозначенные звездочками. Как же все-таки найти ответ задачи? (62873)

  2. Доказать, что при всяком целом

  • делится на 3;

  • делится на 5.

  1. Доказать, что при всяком целом

    • делится на 35 ().

  2. Дано, что делится без остатка на . Доказать, что тоже делится без остатка на .
  3. Докажите, что 13+13 делится нацело на 7.


  4. х и у – целые числа такие, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что 43х + 75у тоже делится на 19.

  5. Докажите, что из трех любых натуральных чисел всегда можно выбрать такие 2, сумма которых делится на 2.

  6. Докажите, что слово ХАХАХА делится на 7, если в нем буквами Х и А обозначены любые цифры. (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

  7. Найдите наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.

  8. Докажите, что если к любому пятизначному числу приписать справа (или слева) это же число, то полученное десятизначное число делится на 11.

  9. Найдите наибольшее и наименьшее трехзначные числа, каждое из которых делится на 6 и имеет в своей записи цифру 7.

  10. Если сумма первой и второй цифры трехзначного числа, у которого одинаковые цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.

  11. Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не делятся на 3; б) делятся на 2 или на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3?

  12. Найдите цифры и в числе , если известно, что это число делится на 72.

  13. Найдите цифры сотен и единиц числа 72*3*, если это число делится без остатка на 45.

  14. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого встречаются все натуральные цифры от 1 до 9.

  15. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

  16. Когда из чисел от 1 до 333 Оля исключила все числа, делящиеся на 3, но не делящиеся на 7, и все числа, делящиеся на 7, но не делящиеся на, то получила 215 чисел. Верно ли она решила задачу?

Список литературы.


1. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом.; М. «Наука», 1977г.

2. За страницами учебника математика. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин; М. «Просвещение»,1989г.

3. В мире чисел. А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Гусак; Минск, 1987г.

4.Занимательная алгебра. Я. И. Перельман, М. «Наука», 1975г.

5. Факультативный курс по математике 7-9.И. Л. Никольская; М. «Просвещение»,1991г.

6. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. В. Н. Березин, Л.Ю. Березина, И. Л. Никольская. М. «Просвещение»,1985г.

7. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. А. В. Фарков, М. 2003г.

8. Задачи по математике для любознательных. Д. В. Клименченко. М. «Просвещение»,1992г.