birmaga.ru
добавить свой файл

1
К вопросу об аналогии формы записи закона Кулона

и закона гравитации Ньютона
Г.М.Трунов
Известно[1], что сила гравитационного взаимодействия тел сферической формы, находящихся в вакууме, можно представить в виде (для модуля силы):


Fгр = ,

(1)


где G = 6,6710–11 Нм2/кг2 - гравитационная постоянная, 1 и 2 – плотности тел, имеющих соответственно, объемы V1 и V2 .

Закон Кулона для электрических зарядов, находящихся на поверхности сферических тел, записывается (в СИ) в виде:


Fэл = ,

(2)


где k0 = 9109 Нм2/Кл2 – размерный коэффициент, S1 и S2– площади поверхности заряженных тел; 1 = Q1/S1 и 2 = Q2/S2 – поверхностные плотности зарядов, находящихся на поверхности S1 и S2 взаимодействующих тел.

Общепринято, что закон гравитации Ньютона (1) не зависит от среды, в которой могут находиться взаимодействующие тела, хотя классические эксперименты по определению гравитационной постоянной были осуществлены Кавендишем при взаимодействии тел, находящихся только в воздухе [2]. ,

Закон Кулона для модуля силы электрического взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью  описывается уравнением:



Fэл = ,

(3)


из которого следует, что сила электрического взаимодействия в среде в  раз меньше, чем в вакууме. Это связано с тем, что в слое среды, непосредственно контактирующем с заряженным телом, индуцируются электрические заряды противоположного знака, которые частично нейтрализуют заряды, находящиеся на телах.

Учитывая это обстоятельство, закон Кулона (3) можно записать в виде уравнения:


Fэл = ,

(4)


где 01 и 02 – поверхностные плотности индуцированных зарядов, находящихся в слоях среды (диэлектрика), непосредственно контактирующих с поверхностями заряженных тел.

Действительно, величина индуцированного заряда в слое диэлектрика, контактирующего с поверхностью заряженного тела, пропорциональна величине заряда, находящегося на теле, поэтому:

01= 1 и 02 = 2,

(5)


где  – постоянная для данного диэлектрика.

Величину  легко выразить через диэлектрическую проницаемость  , подставив уравнение (5) в уравнение (4):

Fэл = = .


(6)


Сравнив уравнения (3) и (6), получим :


(1– )2 = или  = .

(7)


Таким образом, уравнение (4) действительно является видоизмененной формой уравнения (3).

Так как в вакууме закон гравитации Ньютона (1) по форме аналогичен закону Кулона (2), то можно предположить[2, 3], что гравитационное взаимодействие двух тел, имеющих, соответственно, плотности 1, 2 и объемы V1 , V2 и находящихся в среде с плотностью 0 , должно описывается уравнением, аналогичным по форме уравнению (4):


F21 = – Gr0,

(8)



где F21 – сила гравитации, действующая на второе тело со стороны первого тела;
r
0 – единичный вектор, направленный от первого тела ко второму.
















Рис. 2. Иллюстрация к формуле (8).
Справедливость уравнения (8) подтверждается в двух предельных случаях.

1. Рассмотрим взаимодействие Земли (объем V1 , плотность 1 = 5,5103 кг/м3) и железного шарика (объем V2 , плотность 2 = 7,9103 кг/м3) в воздухе у поверхности Земли при нормальных условиях (0 = 1,29 кг/м3). В этом случае уравнение (8) переходит (с учетом 1  0 и 2  0, а r – радиус Земли) в закон гравитации Ньютона (1):


F21 = – Gr0,

(9)


т.е. взаимодействие Земли и железного шарика проявляется в виде силы притяжения (направление силы F
21 противоположно направлению r0).

2) Рассмотрим взаимодействие Земли и резинового шарика с бесконечно тонкими стенками (т.е. пренебрегаем толщиной и массой оболочки), имеющего объем V2 и наполненного водородом (2 = 0,09 кг/м3). В этом случае уравнение (8) переходит (учитывая, что 1  0 и 2  0) в уравнение



F21 = G r0 = g(0 – 2)V2 r0 ,

(10)

где g = G = 9, 81 м/с2 – ускорение свободного падения тел.

Уравнение (10) представляет собой положительную разность двух сил ­ силы Архимеда FАрх = 0gV2 и силы тяжести m2g:

В этом случае взаимодействие Земли и шарика, наполненного водородом, проявляется в виде силы отталкивания (направление силы F21 совпадает с направлением r0).

Таким образом, уравнения (4) и (8) свидетельствуют о том, что электрическое и гравитационное взаимодействия имеют более глубокую аналогию, чем это следует из уравнений (1) и (2).
Литература
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1976.

2. Карякин Н.И. , Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. – М.: Высшая школа, 1964, С. 79.

3. Трунов Г.М. Гравитационное взаимодействие шарообразных тел, находящихся в бесконечной среде. Физическое образование в вузах. 2000, Т. 6, № 3. – С. 63 – 65.

4. Трунов Г.М. Представление в другой форме закона Кулона и закона гравитации
Ньютона. Сб. «Физика в системе инженерного образования России». Тез. докл.
Совещания зав. кафедрами технических вузов России. М.: АТОМ ПОЛИГРАФ
СЕРВИС. – 2003. С. 178-180.