birmaga.ru
добавить свой файл

1
Основные понятия и аксиомы динамики. Понятие о трении


Студенты должны:

Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.

Знать аксиомы динамики и математическое выражение основного закона динамики.

Знать зависимости для определения силы трения.



Содержание и задачи динамики

Динамика — раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:



  • определяют параметры движения по заданным силам;

  • определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.



Аксиомы динамики

Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и , четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой.



Первая аксиома (принцип инерции)

Всякая изолированная материальная точка находится в стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.


Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Зависимость между силой, действующей на материальную точку, и сообщаемым ею ускорением следующая:



F = та,

где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с2.



Ускорение, сообщенное материальной точке силой, nponoрционально величине силы и совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

На все тепа на Земле действует сила тяжести, она телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G
= mg,




где g = 9,81 м/с2, ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона) Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.



Четвертая аксиома (закон независимости действия сип) Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности.



Понятие о трении. Виды трения

Трение — сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении — трение качения. Природа сопротивлений движению в разных случаях различна.


Трение скольжения

Причина — механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при скольжении называется силой трения скольжения.

Законы трения скольжения:

1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления:


Fтр = Ff = fR,




где Rсила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности;

f— коэффициент трения скольжения.


В случае движения тела по наклонной плоскости

R = G cos a,

где а — угол наклона плоскости к горизонту.



Сила трения всегда направлена в сторону, обратную направлению движения.

2. Сила трения меняется от нуля до некоторого максимального значения, называемого силой трения покоя (статическое трение):



Ff0 статическая сила трения (сила трения покоя).

3. Сила трения при движении меньше силы трения покоя. Сила трения при движении называется динамической силой трения (Ff):



Ff Ff0

Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и направления опорной поверхности, не меняется, то различают статический и динамический коэффициенты трения:



Ff = fR; Ffo = f0R.

Коэффициент трения скольжения зависит от следующих факторов:

— от материала: материалы делятся на фрикционные (с большим коэффициентом трения) и антифрикционные (с малым коэффициентом трения), например f = 0,14-0,15 (при скольжении стали по стали всухую), f = 0,2-0,3 (при скольжении стали по текстолиту);



  • от наличия смазки, например f = 0,04-0,05 (при скольжении стали по стали со смазкой);
  • от скорости взаимного перемещения.


Трение качения

Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.

Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном деформируется грунт, и в каждый момент колесо должно перекатываться через выступ грунта. Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу FJlB .

Условие качения колеса состоит в том, что движущийся момент должен быть не меньше момента сопротивления:



Fдв> Nk;

N = G;


Fдвk
где k — максимальное значение плеча (половина колеи) принимается за коэффициент трения качения, размерность — сантиметры.

Ориентировочные значения k (определяются экспериментально): сталь по стали — k = 0,005 см; резиновая шина по шоссе — k = 0,24 см.



Движение материальной точки. Метод кинетостатики

Иметь представление о свободных и несвободных материальных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.

Знать формулы для расчета силы инерции при поступательном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.

Свободная и несвободная точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.

Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными.

Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничивающих движение реакций связей (пассивных сил).

Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемости от связей).


Сила инерции

Инертность — способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в обратную сторону от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.

Рассчитано, что сила инерции равна






Разгоняющееся тело (платформа с массой т) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вообще был бы невозможен.

При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального an и касательного at .

Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная a = at + ап;






При равномерном движении по дуге всегда возникает нормальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги.

ω =const;

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:


Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:



Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера


  1. Составить расчетную схему.

  2. Выбрать систему координат.

  3. Выяснить направление и величину ускорения.

  4. Условно приложить силу инерции.

  5. Составить систему уравнений равновесия.

  6. Определить неизвестные величины.


Работа и мощность

Студент должен:

Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и мощности при поступательном и вращательном движениях.

Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Работа

Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят понятие «работа силы».

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина.

Работа постоянной силы на прямолинейном пути

Работа силы в общем случае численно равна произведению модуля силы на длину пройденного пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения


W = FS cos α.

Единицы измерения работы: 1 Дж (джоуль)= 1 Н·м; 1 кДж (килоджоуль) = 103 Дж. Рассмотрим частные случаи.

1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называются движущими силами. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения.

В этом случае а = 0° (cos α = 1). Тогда W = FS > 0.

2. Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят.

Сила F перпендикулярна направлению перемещения,

α = 90° (cos α = 0); W = 0.

3. Силы, направленные в обратную от направления перемещения сторону, называются силами сопротивления

Сила F направлена в обратную от перемещения S сторону.

В этом случае α = 180° (cos α = -1), следовательно, W = - FS < 0.

Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивления уменьшают скорость.

Таким образом, работа может быть положительной и отрицательной в зависимости от направления силы и скорости.


Работа постоянной силы на криволинейном пути

Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F составляет некоторый угол а с касательной к окружности (рис. 15.5).

Вектор силы можно разложить на две составляющие:

F = Ft + Fn.

Используя принцип независимости действия сил, определим работу каждой из составляющих силы отдельно:



W(Ft) = FtΔS; W(Fn) = FnΔS,

где ΔS = М1М2 — пройденный путь.



ΔS = φr.

Нормальная составляющая силы Fn всегда направлена перпендикулярно перемещению и, следовательно, работы не производит: W(Fn) = 0.

При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачиваются вместе с точкой М. Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с перемещением.

Будем иметь: W(Ft) = Ftφr.

Касательную силу Ft обычно называют окружной силой.

Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы:


W(F) = W(Ft).

Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом:


Мвр = Ft r.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота:



W(F) = Мврφ.

Работа силы тяжести

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):




W(G) = G(h - h2) = GΔh,
где Δh — изменение высоты.

При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.



Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1в положение М2.

В случае движения под действием системы сил пользуются теоремой о работе равнодействующей.

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна

алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

Работа и мощность. Коэффициент полезного действия

Студент должен:

Иметь представление о мощности при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения мощности при поступательном и вращательном движениях, КПД.

Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.

Мощность - работа, выполненная в единицу времени:

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты,

1 Н м = 1Вт; 103Вт = 1кВт. с


Мощность при поступательном, движении

Где F — модуль силы, действующей на тело; vcp — средняя скорость движения тела. Средняя мощность при поступательном движении равна произведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на конус угла между направлениями силы и скорости.


Мощность при вращении

где — средняя угловая скорость.



Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю угловую скорость.

Если при выполнении работы усилие машины и скорость движения меняются, можно определить мощность в любой момент времени, зная значения усилия и скорости в данный момент.



Коэффициент полезного действия

Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений.

Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полезной мощности ко всей затраченной мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД):



Затраченная мощность больше полезной на величину мощности, идущей на преодоление трения в звеньях машины, на утечки и тому подобные потери.

Чем выше КПД, тем совершеннее машина

Общие теоремы динамики

Студент должен:

Иметь представление о понятиях «импульс силы», «количество движения», «кинетическая энергия»; о системе материальных точек, о внутренних и внешних силах системы.

Знать основные теоремы динамики, основные уравнения динамики при поступательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для расчета моментов инерции некоторых однородных твердых тел.


Уметь определять параметры движения с помощью теорем динамики.

Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv.

Вектор количества движения совпадает по направлению с вектором скорости. Единица измерения [mv] = кг-м/с.

Произведение постоянного вектора силы на некоторый промежуток времени, в течение которого действует эта сила, называется импульсом силы Ft.

Вектор импульса силы по направлению совпадает с вектором силы.



[Ft] - Н • с =кг • м/с2

Использовав основное уравнение динамики, после преобразования можно получить соотношение между количеством движения и импульсом силы



Полученное равенство выражает теорему об изменении количества движения точки:



Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующему на точку в течение того же промежутка времени.

Теорема об изменении кинетической энергии

Энергией называется способность тела совершать механическую работу.

Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения.

Потенциальная энергия (П) определяет способность тела совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря. Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести.

П = Gh, где h — высота точки над уровнем моря.

Кинетическая энергия (К) определяется способностью движущегося тела совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия рассчитывается по формуле


Кинетическая энергия — величина скалярная, положительная.

Энергия имеет размерность работы.



Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии точки:



Изменение кинетической энергии на некотором участке пути равно работе действующих на точку сил на том же пути.

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения остальных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действующие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы

, где —масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс системы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы только при поступательном движении, при котором все точки тела движутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

FΣ = тас,

где m — суммарная масса тела; ас— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.


Основное уравнение динамики вращающегося тела

Величина называется моментом инерции тела относительно оси вращения.

где Мz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ԑ — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что да измерения этой величины в системе СИ [Jz] = [тr2] =кг м2. Видно, что значение момента инерции зависит от распределения относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра -

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра -


Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения: - относительно продольной оси

- относительно перпендикулярной оси

Момент инерции шара -