birmaga.ru
добавить свой файл

1


Доклады Академии наук СССР

1963. Том 149, № 3

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
Об устойчивости разностных схем

Неоднократно высказывалась гипотеза, что если разностная схема устойчива в классе постоянных коэффициентов, то она устойчива и в классе переменных коэффициентов. В данной заметке приводится пример, показывающий, что эта гипотеза неверна, если в качестве класса переменных коэф­фициентов брать кусочно-непрерывные и кусочно-дифференцируемые функции *.

1. Рассмотрим неявную разностную схему:

(1)

и первую краевую задачу, ей соответствующую:

(2)

(3)

где - заданные начальные значения, причем (4)

h и - шаги разностной сетки (; ).

Эта схема соответствует уравнению

, (5)


в чем легко убедиться, если переписать ее в виде

.

Разностная схема (1) с условиями (2) и (3) устойчива в классе непрерыв­ных коэффициентов при достаточно малом h и любых , так как в этом слу­чае и справедлив принцип максимального значения, откуда и следует равномерная по h корректность.
2. Будем искать решение разностных уравнений (1) с условиями (2) в виде . Для функции получаем задачу на собственные значе­ния



или

, (6)

где , так что .

Пусть > 0 - кусочно-постоянная функция

(7)

где - точка разрыва - иррациональна.


Будет показано, что если



отрицательно, то при достаточно малом задача (6) имеет положительное собственное значение , причем , где - произвольная положительная постоянная. Отсюда будет следовать, что при

.

Для нашей схемы

(8)
где .

Если , то все квадратные скобки, кроме первой, положительны; если > 5, то первая скобка отрицательна и первое слагаемое внутри фигурных скобок также отрицательно. Так как степень по первого слагаемого равна 5/2, а второго 2, то ясно, что существует такое , что при > (приближенное значение ).

3. Нетрудно проверить, что функция



удовлетворяет условиям задачи (6) для i и i>n+1, если выполнены условия

. (9)

Значения и определяются из уравнений (6) при i= n и i= n+1, а - из условия разрешимости этих уравнений относительно и .

Введем обозначения



и запишем уравнения (6) для i= n, n+1 в виде





Приравнивая определитель этой системы нулю, получим уравнение для :

,

где

(10)

Требуется доказать, что при выполнении условия для любого найдется - корень уравнения , причем .

4. Нетрудно видеть, что . Отсюда следует огра­ниченность p и q при заданных и . Рассмотрим произвольные числа и такие, что . Заменим на z, полагая z = h; при этом функция преобразуется в функцию



В п. 5 будет доказано, что

, (11)

где определяется формулой (8). Если (), то при достаточно малом

при .


С другой стороны, при любом h , в силу ограниченности p, q

при ,

откуда следует, что при найдется корень уравнения , удовлетворяющий условию , или корень уравнения , для которого , что и доказывает неустойчивость схемы (1) при .
5. Докажем асимптотическое равенство (11). Очевидно, что для значений и , определяемых равенствами

(9)

в интервале имеют место асимптотические равенства по h

. (12)

Кроме того, при

(13)

и аналогично

. (13)

Подставляя равенства (13), (13) в выражение (10) для q, получаем



где определяется формулой (8).

Таким образом доказана неустойчивость схемы (1) при и достаточно малом .

Нетрудно убедиться (ср. [1] ), что в тех случаях, когда схема (7) для кусочно-постоянных коэффициентов сходится, предельная функция для будет отлична от решения соответствующей краевой задачи для дифференциального уравнения (5).Для сходимости в классе разрывных коэффи­циентов схемы



необходимо и достаточно, чтобы оператор был консервативным (само­сопряженным), т. е. чтобы (см. [1] ).
Поступило

29.12.1962

Литература


  1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., №1, 5 , 1961.



* Основной результат этой работы был изложен в докладе на IY Всесоюзном математическом съезде в 1961 г.