birmaga.ru
добавить свой файл

1

Делимость и остатки

 

Допустим, нас интересуют остатки от деления чисел на 10 (последняя цифра). Как найти последнюю цифру произведения двух чисел? Достаточно перемножить последние цифры сомножителей и взять последнюю цифру результата. Аналогичная теорема верна для любого делителя: остаток произведения или суммы двух чисел определяется остатками этих чисел – это создаёт «арифметику остатков».

Остаток может выступать в роли инварианта (например, остаток от деления на 9 в задачах про сумму цифр).

 

Пример 1. Докажите, что существует бесконечно много чисел, которые не представимы в виде суммы двух квадратов.

Решение. Достаточно доказать, что числа, имеющие при делении на 4 остаток 3, не представимы в виде суммы двух квадратов. Из равенств (2k)2 = 4k2, (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 следует, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1. Поэтому сумма двух квадратов не может иметь остаток 3.

 

Пример 2. Докажите, что число, в десятичной записи которого участвуют три единицы и несколько нулей, не может быть квадратом.

Решение. Если такое число существует, то оно делится на 3, но не делится на 9 (по признакам делимости на 3 и на 9). Но если число делится на 3 и является полным квадратом, то оно делится на 9. Противоречие.

 

 

Задачи

 


        1. 1.     Какие числа можно представить в виде разности двух квадратов целых чисел?

        2. 2.
               Если pпростое число, большее 3, то p2 – 1 делится на 24.

        3. 3.
               При каких n число 2n – 1 делится на 7?
        4. 4.     Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма кубов этих чисел тоже делится на 6.

        5. 5.
               Если в целочисленной арифметической прогрессии встретился квадрат целого числа, то квадратов в ней бесконечно много. Докажите.