birmaga.ru
добавить свой файл

1
Геоматематика в действии

В 2008 г. Льву Семёновичу Понтрягину, великому советскому математику, исполняется 100 лет. Отметим это событие небольшим исследованием любопытных закономерностей его биографии. На самом деле это не просто исследование, это кружево, поэма.

Для советского ученого самой ценной энциклопедической информацией после даты и места его рождения и смерти служит то, когда его выбрали в Академию наук. В случае Л.С. Понтрягина это 1939 г. (член-корреспондент, с 29 января) и 1958 г. (академик, с 20 июня).
Возьмем отрезок времени длиною в человеческую жизнь, где всегда есть две золотые середины: та, что ближе к его началу, и та, что ближе к его концу. Если предположить, что для Понтрягина это как раз 1939 и 1958 гг., то из элементарной системы двух уравнений легко получится, что он родился в (1939·Ф - 1958)·Ф = 1908 г. и умер в (1958·Ф - 1939)·Ф = 1988 г. - как это и случилось, где Ф = 1.618... - золотая пропорция. Уже интересно, особенно если объявятся еще... числа π и е.
Применим к этим датам "формулу русской хронологии", много раз мною использованную,
g = (X - x)/(X + x) = 0.309·exp((2000 - t)/1459),
где t - календарное время, годы, и усредним результаты геометрически. Или, с тем же успехом, применим формулу прямо к (1908 + 1988)/2 = 1948 г. = середине жизни Понтрягина, а точнее, к (1939 + 1958)/2 = 1948.5 г. (поскольку он родился 3 сентября и умер 3 мая), хотя на результате g это уточнение сказывается только в 4-м знаке после точки. Получим g = 0.320. Что это за число? Оказывается, это (π - Ф)/(π + Ф) = 0.320. Остается указать в жизни Понтрягина важное событие, возможно математическое, мера g неопределенности которого равнялась бы точно тому же.

Вряд ли это событие связано с его слепотой - в отличие от Леонарда Эйлера, 1707-1783 гг., для которого формула - также в середине жизни - дает g = 0.368 = 1/e - проверьте на калькуляторе! Эйлер ослеп (на правый глаз и позже на левый) из-за математики, тогда как Понтрягин, видимо наоборот, стал математиком из-за слепоты.

Кроме потери зрения в начале 20-х гг., важнейшее событие в жизни Понтрягина - это переход от занятий чистой математикой к ее приложениям (что привело к открытию принципа максимума). Сколько же лет ему тогда было? Судя по Жизнеописанию Льва Семеновича... это происходило в начале 30-х гг., в начале Войны (41-42 г.) и в начале 50-х гг., когда ему было удивительно точно Ф, Ψ и π в единицах L, где Ψ = 2.4142... - серебряная пропорция, а Ψ²L - длительность его жизни, соответственно за x и X можно принять первый его возраст и последний. Что тоже интересно.
Дальше будет еще интереснее, поскольку на примере идеи принципа максимума Понтрягина я намерен продемонстрировать, как работает категорный анализ - главный метод геоматематики.
Рассмотрим некоторую абстрактную идею, пока безразлично какую, но идею продуктивную, которая однажды приходит в голову, ее осознают и принимаются развивать, разрабатывать, и она становится ресурсом - источником появления и потока разнообразный вещей, таких как доклады, статьи, монографии, диссертации, патенты, свидетельства, звания, награды и прочее. Однако то, во что она выливается и превращается, как ее применяют, рассматривать не будем. Это похоже на то, будто мы открыли месторождение и добываем там нефть, но куда она потом девается, нас не интересует. Нас интересует сама идея как ресурс, который эксплуатируется и которому присуща неопределенность, требующая количественной оценки в ходе ее эволюции... Поначалу значительная, неопределенность последовательно сокращается, сокращается... и со временем исчезает вовсе - идея исчерпывает себя. Попробуем это формализовать.

Уподобим найденный ресурс месторождению нефти, чей неопределенный извлекаемый запас подсчитывается по доступной информации (ибо нефть, залегающая в недрах, непосредственно не наблюдаема и отчасти не извлекаема) с некоторой относительной погрешностью в качестве меры присутствующей неопределенности. Эту погрешность (безразмерную, но зависящую от времени t, в годах) обозначим g(t) или g по-прежнему. По определению 0 < g < 1. Сразу после открытия нефтяного месторождения значение g, модельное по нынешним меркам, равно 7/15, что получается так: 1/5 запаса подсчитывается с g = 1/3 (вокруг скважины-открывательницы) и 4/5 запаса - с g = 1/2, например, насчитывается 3 ± 1 и 12 ± 6 млн т нефти, суммарный же запас, пусть (3 ± 1) + (12 ± 6) = 15 ± 7 млн т нефти, подсчитывается с g = (1/3)·(1/5) + (1/2)·(4/5) = 7/15; иначе говоря, месторождение разведано на 20% "по категории С1" и на 80% "по категории С2". Не всякий приток нефти делает скважину открывательницей, а только приток промышленный.

А добывать что будем? Неопределенность, конечно!
Наряду с фактом открытия с месторождением связывается сегодня пара серьезных документов: технологическая схема и проект его разработки, составляемые и утверждаемые при разных g(t) - техсхема предшествует проекту и базируется, следовательно, на меньшем объеме информации в условиях большей неопределенности, но в общем и целом она отвечает современному уровню и состоянию нефтяной науки и практики. Вдобавок к разработке бывают и проекты доразработки. Далее будем считать, что g падает с течением времени экспоненциально: g(t) = g(s)·exp((s - t)/T), где T - временной масштаб месторождения, подлежащий вычислению по известным g(t) и g(s) в известные моменты: по открытии месторождения и при утверждении техсхемы его разработки.
Проинтегрировав g по времени в пределах от g = 1 до g(t), получим (1 - g(t))·T, а значит, мы на деле добываем не нефть и даже не неопределенность, но само время в количестве g·T максимум, где g суть коэффициент (доля) извлечения нефти, неопределенности и времени с одним и тем же модельным значением 7/15 (остальную их часть извлечь не удастся, она безвозвратно теряется).

Рассмотрим теперь вполне конкретную идею, а именно идею принципа максимума Понтрягина (в задаче оптимального управления, неклассической задаче вариационного исчисления), которая сформировалась у Л.С. Понтрягина и его учеников к середине 50-х гг. в виде гипотезы и была опубликована в 1956 г. (статья поступила 17 апреля) в Докладах АН СССР (т. 110, № 1, с. 7-10). До этой работы были и другие их (и, быть может, не только их) публикации, но аналогом факта открытия нефтяного месторождения нужно считать только эту. Потом, в 1961 г., была издана знаменитая книга четырех авторов, аналогичная техсхеме разработки (и удостоенная в 1962 г. Ленинской премии), второе издание которой, аналогичное проекту разработки, было в 1969 г., третье издание было в 1976 г., а четвертое издание, стереотипное, было в 1983 г. (Если хотите, управление по Понтрягину противоположно динамическому программированию по Беллману - оно советское, собственно программное, зависящее от времени, а не от фазовой координаты.)

Настало время обратиться к формуле русской хронологии и задействовать возникающее из нее число g = 0.309·1.027, приходящееся на 1961 г. (XXII съезд КПСС, принятие новой Программы), или нечто среднее между 1/√10 (1956 г., XX съезд КПСС) и 1/π (1966 г., XXIII съезд КПСС). Проведя экспоненту через эту хронологическую точку и точку g(1956) = 7/15, получим формулу g(t) = g(1961)·exp((1961 - t)/T), тут масштаб T = (1961 - 1956)/(ln g(1956) - ln g(1961)) < 13.0 лет. Выпишем отсюда пять относящихся к делу значений g(t), удерживая три значащие цифры:
g(1956) = 0.467, g(1961) = 0.317, g(1969) = 0.171, g(1976) = 0.100, g(1983) = 0.058.
Проанализируем эти цифры. Выясняются интересные, мягко говоря, совпадения.
1. Нетрудно заметить, что g(1956) ~ e/Ψ² = 0.466... .
2. За предпроектное время ожидается релаксация g, она и произошла: ln(g(1956)/g(1969)) = 1.00. А значение g = 1/e ~ 11/30 = (1/3)·(4/5) + (1/2)·(1/5) здесь приходится на 1959 г. (внеочередной, XXI съезд КПСС), когда авторы были готовы или скорее приступили к написанию своей книги; нефтяники сказали бы, что идею разведали на 80% по категории С1 и на 20% по категории С2, подготовили к промышленному освоению и приступили к составлению техсхемы ее разработки. Естественным образом во 2-й период T наблюдался максимальный поток публикаций по теме.
3. Однако неожиданно ln(g(1961)/g(1969)) = 0.62 = 1/Φ и в придачу g(1969)/g(1961) = 0.54 = π/Ψ².
4. Значение g = 1/10 характеризует запас т.н. категории A, т.е. фиксирует момент, когда выбурен проектный фонд скважин, в т.ч. резервный. Тогда знаний об извлекаемом (потенциально) запасе достаточно, чтобы подсчитать его с точностью не хуже 10%. На этот момент извлекаемый запас, т.е. накопленная (за прошедшее время) добыча нефти, достигает ~ 70-85% извлекаемого запаса. С той же точностью относительная накопленная добыча неопределенности и времени, на 1976 г. достигавшая разности 1 - g(1976)/g(1956) = 0.79, отождествима с sin 45-60˚.

5. Приравняв (g(t) - g(t + 1))/g(1956) в точности 1/100, получим t = 1982.0, выходит, что в 1983 г. впервые темп добычи упал ниже 1% - идея вступила в завершающую стадию ее разработки... Жизненный цикл месторождения обычно длится 4-6 периодов T - и наступает... "местосмерть". У рассматриваемой идеи (если угодно, советской) этот срок, увы, заканчивается в 2007-2034 гг.
Бобылев В.Н., 20.11.2007 г.